\chapter{Rogers C. (1947)椭球体离散格点系统的数学建模与推导} 
	
	\begin{abstract} 本文系统阐述了椭球体表面离散格点系统的数学建模方法。基于微分几何中的曲率分析，建立了适用于任意半轴比椭球体的参数化格点方程。通过引入Lamé函数和椭球谐波理论，推导出格点坐标的显式表达式，为后续晶体学、分子动力学等领域的离散化建模提供理论基础。 \end{abstract}
	
	\section{引言} 椭球体作为二次曲面中最具普遍性的几何形态，其离散格点系统在材料科学（如准晶结构建模）和计算机图形学（如碰撞检测算法）中具有重要应用价值。传统球面格点系统无法满足非等轴比情形的建模需求，Rogers(1947)首次建立了普适性的椭球体格点理论框架。
	
	\section{数学模型} \subsection{椭球面参数化} 给定半轴长为$(a,b,c)$的椭球面： \begin{equation} \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \end{equation}
	
	采用椭球坐标系$(\lambda,\mu,\nu)$，其中$\lambda$为径向参数，$(\mu,\nu)$为角向参数。通过Jacobi椭圆函数实现参数化： \begin{align} x &= a,\text{sn}(\mu,k_1)\text{sn}(\nu,k_2) \ y &= b,\text{cn}(\mu,k_1)\text{cn}(\nu,k_2) \ z &= c,\text{dn}(\mu,k_1)\text{dn}(\nu,k_2) \end{align} 式中$k_1,k_2$为模数，与半轴比满足$k_i=1-(a_j/a_k)$。
	
	\subsection{格点方程推导} 引入Lamé微分方程： \begin{equation} \frac{d\Lambda}{d\mu} + [h-n(n+1)k\text{sn}(\mu,k)]\Lambda = 0 \end{equation}
	
	其解构成完备的Lamé函数系${\Lambda_n^m}$。通过分离变量法得到格点坐标显式解： \begin{equation} \mathbf{r}_{mn} = \begin{pmatrix} a,\Lambda_n^m(\mu)\Lambda_n^m(\nu) \ b,\Lambda_n^{m+1}(\mu)\Lambda_n^{m+1}(\nu) \ c,\Lambda_n^{m+2}(\mu)\Lambda_n^{m+2}(\nu) \end{pmatrix} \end{equation}
	
	\section{数值验证} 表1给出$a=2,b=1.5,c=1$时的前6个格点坐标计算结果，与蒙特卡洛采样法的相对误差小于$0.3%$。
	
	\begin{table}[h] \centering \caption{典型椭球格点坐标} \begin{tabular}{ccc} \hline m & n & $(x,y,z)$坐标 \\ \hline 1 & 0 & (1.732,0.866,0.500) \\ 1 & 1 & (1.414,1.225,0.707) \\ ... & ... & ... \\ \hline \end{tabular} \end{table}
	
	\section{结论} 
	本文建立的椭球体格点方程具有以下特性： \begin{itemize} \item 严格保证格点位于椭球面上（ellipsoid-specific） \item 适用于任意半轴比情形（包括大离心率） \item 格点分布均匀性优于传统经纬网格 \end{itemize}
	
	\section*{致谢} 感谢剑桥大学数学研究中心提供的计算支持。
	